PROYECTO DE 5TO. AÑO "FRANCISCO ISNARDI"

BIENVENIDOS A ESTA NUEVA FORMA DE ESTUDIAR: INVESTIGA, INDAGA, REFUERZA TUS CONOCIMIENTOS, TE INVITO A NO CONFORMARTE CON LO DADO EN AULA, PUEDES SUPERAR TUS CONOCIMIENTOS.

HISTORIA DEL ESPACIO VECTORIAL

Históricamente, las primeras ideas que condujeron a los espacios vectoriales modernos se remontan al siglo XVII: geometría analítica, matrices y sistemas de ecuaciones lineales.

Los espacios vectoriales se derivan de la geometría afín, a través de la introducción de coordenadas en el plano o el espacio tridimensional. Alrededor de 1636, los matemáticos franceses Descartes y Fermat fundaron las bases de la geometría analítica mediante la vinculación de las soluciones de una ecuación con dos variables a la determinación de una curva^{[nota 1]}Bernhard Bolzano introdujo en 1804 ciertas operaciones sobre puntos, líneas y planos, que son predecesores de los vectores.^{[nota 2]} Este trabajo hizo uso del concepto de coordenadas baricéntricas de August Ferdinand Möbius de 1827.^{[nota 3]} plana. Para lograr una solución geométrica sin usar coordenadas,

La primera formulación moderna y axiomática se debe a Giuseppe Peano, a finales del siglo XIX. Los siguientes avances en la teoría de espacios vectoriales provienen del análisis funcional, principalmente de los espacios de funciones. Los problemas de Análisis funcional requerían resolver problemas sobre la convergencia. Esto se hizo dotando a los espacios vectoriales de una adecuada topología, permitiendo tener en cuenta cuestiones de proximidad y continuidad. Estos espacios vectoriales topológicos, en particular los espacios de Banach y los espacios de Hilbert tienen una teoría más rica y elaborada.

El origen de la definición de los vectores es la definición de Giusto Bellavitis números complejos de Argand y Hamilton y la creación de los cuaterniones por este último (Hamilton fue además el que inventó el nombre de vector).^{[nota 4]} Son elementos de R² y R⁴; el tratamiento mediante combinaciones lineales se remonta a Laguerre en 1867, quien también definió los sistemas de ecuaciones lineales. de bipoint, que es un segmento orientado, uno de cuyos extremos es el origen y el otro un objetivo. Los vectores se reconsideraron con la presentación de los

En 1857, Cayley introdujo la notación matricial, que permite una armonización y simplificación de las aplicaciones lineales. Casi al mismo tiempo, Grassmann estudió el cálculo baricéntrico iniciado por Möbius. Previó conjuntos de objetos abstractos dotados de operaciones.^{[nota 5]} En su trabajo, los conceptos de independencia lineal y dimensión, así como de producto escalar están presentes. En realidad el trabajo de Grassmann de 1844 supera el marco de los espacios vectoriales, ya que teniendo en cuenta la multiplicación, también, lo llevó a lo que hoy en día se llaman álgebras. El matemático italiano Peano dio la primera definición moderna de espacios vectoriales y aplicaciones lineales en 1888.^{[nota 6]}

Un desarrollo importante de los espacios vectoriales se debe a la construcción de los espacios de funciones por Henri Lebesgue. Esto más tarde fue formalizado por Banach en su tesis doctoral de 1920^{[nota 7]} y por Hilbert. En este momento, el álgebra y el nuevo campo del análisis funcional espacios de funciones p-integrables y los espacios de Hilbert. También en este tiempo, los primeros estudios sobre espacios vectoriales de infinitas dimensiones se realizaron. empezaron a interactuar, en particular con conceptos clave tales como los

Los espacios vectoriales tienen aplicaciones en otras ramas de la matemática, la ciencia y la ingeniería. Se utilizan en métodos como las series de Fourier, que se utiliza en las rutinas modernas de compresión de imágenes y sonido, o proporcionan el marco para resolver ecuaciones en derivadas parciales. Además, los espacios vectoriales proporcionan una forma abstracta libre de coordenadas de tratar con objetos geométricos y físicos, tales como tensores, que a su vez permiten estudiar las propiedades locales de variedades mediante técnicas de linealización.

En matemáticas, un espacio vectorial es una estructura algebraica creada a partir de un conjunto no vacío, una operación interna (llamada suma, definida para los elementos del conjunto) y una operación externa (llamada producto por un escalar, definida entre dicho conjunto y un cuerpo matemático), con 8 propiedades fundamentales.

A los elementos de un espacio vectorial se les llama vectores y a los elementos del cuerpo, escalares.

SISTEMA DE PLANOS COORDENADOS:

Los sistemas coordenados que nosotros podemos representar son los que estan en 2D y 3D, ya que más dimensiones nos es imposible graficar.

En 2D recordamos que representaremos un punto como un par ordenado de la forma P=(x,y) siento x la coordenada medida desde el origen sobre el eje x y y su coordenada medida desde el origen sobre el eje y. En 2D los ejes parten el plano en cuatro partes a las que llamaremos cuadrantes y están organizadas de la siguiente forma

En 3D no cambia mucho ya que tenemos un punto representado por una terna ordenada de la forma P=(x,y,z) siendo cada una de sus componentes la coordenada respectiva a cada eje (eje x, eje y y eje z respectivamente). En 3D el plano ahora es dividido en 8 partes y llamaremos a cada una de las partes octantes y están organizados de la siguiente forma siendo el primer octante donde todos los ejes son positivos, los primeros cuatro localizados en la parte positiva del eje z y los restantes en la parte negativa

Vectores

Un vector es un segmento de recta que está dirigido desde un punto A hacia un punto B. Un vector posee una magnitud y una dirección. En este caso representaremos a un vector en 2D como $\vec{a}=<a_1,a_2>$ y a un vector en 3D como $\vec{a}=<a_1,a_2,a_3>$ . Un vector que esté dirigido desde el origen hasta algún punto es conocido como el vector posición. Para encontrar un vector que vaya de un punto A hacia un punto B, simplemente restaremos las coordenadas del punto A a las coordenadas del punto B, o también lo podemos ver como la resta entre los vectores posición de los puntos A y B.

Operaciones con vectores

Sabemos que los espacios vectoriales son grupos abelianos. Siendo todos los espacios vectoriales grupos abelianos sabemos que la suma de vectores, la resta de vectores y la multiplicación de un vector con un escalar se comportarán de la misma manera en todas las dimensiones. A continuación se ejemplificarán las operaciones en 2D para servirnos de guía para las demás dimensiones.

Suma y resta de vectores

Se define la suma y resta de vectores de la siguiente forma:

$\vec{a} \pm \vec{b}=<a_1 \pm b_1, a_2 \pm b_2>$

Multiplicación de un vector por un escalar

Se define la multiplicación de un vector con un escalar de la siguiente forma:

$c \cdot \vec{a}=<ca_1,ca_2>$

Norma de un vector

Se define la norma de un vector como

$\left \| \vec{a} \right \| = \sqrt{\sum_{i=1}^{n} {a_i}^2}$

en 2D tendríamos $\left \| \vec{a} \right \| = \sqrt{{a_1}^2 + {a_2}^2}$

La norma del vector también es conocida como la magnitud de un vector, es decir la distancia que hay entre la punta y la cola del vector.

Vector unitario

Se conoce como vector unitario a aquel vector cuya norma es 1. Suele representarse como $\vec {a_0}$ o $\hat{a}$ .

Para unitarizar un vector simplemente lo multiplicamos por el inverso de su norma

$\hat{a}= \frac{1}{\left \| \vec{a} \right \|} \vec{a}$

Los vectores unitarios más utilizados son los vectores $\hat{i}, \hat{j}$ y en caso de estar en 3D se agrega el vector $\hat{k}$ , ya que ellos son una base del espacio vectorial y a partir de ellos podemos formar cualquier vector en el espacio. En 2D $\hat{i}=<1,0>$ y $\hat{j}=<0,1>$ , mientras en 3D $\hat{i}=<1,0,0>$ , $\hat{j}=<0,1,0>$ y $\hat{k}=<0,0,1>$

Propiedades de los vectores

Sean $\vec{a}, \vec{b}$ vectores del espacio y $\alpha, \beta$ escalares se cumplen las siguientes propiedades:

$\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a}$

$\vec{a} + (\vec{b} + \vec{c})=(\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c}$

$\vec{a} + \vec{0} = \vec{a}$ , siendo $\vec{0}$ el vector llamado vector nulo

$\vec{a} + \vec{-a} = \vec{0}$

$\alpha (\vec{a} + \vec{b}) = \alpha \vec{a} + \alpha \vec{b}$

$(\alpha + \beta)\vec{a}=\alpha \vec{a} + \beta \vec{b}$

$(\alpha \beta)\vec{a}=\alpha (\beta \vec{a})$

$1 \vec{a}=\vec{a}$

Producto punto o producto interno

Sean los vectores:

$\vec{a}=<a_{1},a_{2},a_{3}>$
$\vec{b}=<b_{1},b_{2},b_{3}>$

El producto punto entre ellos seria:
$\vec{a}\cdot \vec{b}}=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}$

En general:
$\vec{a}=<a_{1},a_{2},...,a_{n}>$
$\vec{b}=<b_{1},b_{2},...,b_{n}>$
$\vec{a}\cdot \vec{b}}=\sum_{i=1}^{n}a_{i}b_{i}$

PREGUNTAS POR SECCIONES DE 5TO.

5TO. "B"

1) AL GRAFICAR UNA TERNA ESTA SIEMPRE DEBERÁ SER POSITIVA. ¿POR QUÉ?

"5TO. C"

1) LOS PUNTOS NEGATIVOS DEL PLANO EN EL ESPACIO SE ENCUENTRAN EN LA PROFUNDIDA DE DICHO PLANO. ¿POR QUÉ?

"5TO. D"

1) SI REPRESENTO GRAFICAMENTE UNA TERNA PUEDO OBTENER FIGURAS EN 3D. ¿POR QUÉ?

"5TO. E"

1) QUÉ DIFERENCIAS EXISTEN ENTRE UN PLANO CARTESIANO Y UN PLANO EN EL ESPACIO. JUSTIFICA.

"5TO.F"

1)PARA REPRESENTAR FIGURAS TRIDIMENSIONALES , CUANTAS TERNAS DEBO REPRESENTAR. ¿POR QUÉ?

"5TO. G"

1) COMO PUEDO UBICAR EL ORDEN DE LOS EJES EN EL PLANO.

"5TO. H"

1) LOS PUNTOS NEGATIVOS DE CADA EJE SE REPRESENTAN PARALELAMENTE A CADA COORDENADA. ¿POR QUÉ?

TODOS COMENTARAN LAS PREGUNTAS 2 Y 3

2) COMENTA TODO LO PUBLICADO EN EL BLOGS, TU PUEDES COMPRUEBA O MEJORA LO DICHO.

3) PODEMOS TOMAR LAS ÁREAS VERDES DEL L. N. "FRANCISCO ISNARDI" COMO PLANO PARA LA SIEMBRA. INDICA ¿DÓNDE, CÓMO, CUÁNDO?

lunes, 22 de octubre de 2012